جواب کاردرکلاس صفحه 26 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 26 ریاضی دوازدهم ### آیا تابع $f(x) = x^3$ یک به یک است؟ چرا؟ **پاسخ:** بله، تابع $f(x) = x^3$ **یک به یک** است. **دلیل:** یک تابع زمانی یک به یک است که برای هر دو مقدار ورودی متفاوت ($x_1 \ne x_2$)، خروجی‌های متفاوتی نیز داشته باشد ($f(x_1) \ne f(x_2)$). * **روش جبری:** اگر $f(x_1) = f(x_2)$ باشد، آنگاه $x_1^3 = x_2^3$. با گرفتن ریشه سوم از طرفین، نتیجه می‌شود $x_1 = x_2$. بنابراین تابع یک به یک است. * **روش هندسی (آزمون خط افقی):** هر خط افقی دلخواه، نمودار $y = x^3$ را **حداکثر در یک نقطه** قطع می‌کند. * **نکته:** چون تابع $f(x) = x^3$ در تمام دامنه خود $(\mathbb{R})$ **اکیداً صعودی** است، پس لزوماً یک به یک نیز هست. --- ### ضابطه تابع وارون برای یافتن ضابطه تابع وارون $f^{-1}(x)$، ابتدا $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل می‌کنیم و سپس جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم: 1. قرار می‌دهیم: $y = x^3$ 2. $x$ را بر حسب $y$ به دست می‌آوریم: $x = \sqrt[3]{y}$ 3. جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم: $y = \sqrt[3]{x}$ $$\mathbf{\text{ضابطه تابع وارون: } f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}}$$ ### رسم نمودار $f(x)$ و $f^{-1}(x)$ نمودار $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ قرینه نمودار $f(x) = x^3$ **نسبت به خط $y = x$** است. * **نقاط مشترک:** هر دو تابع از نقاط $(0, 0)$, $(1, 1)$, و $(-1, -1)$ می‌گذرند. * **تابع $f(x) = x^3$ (صعودی):** مقادیر برای $x > 1$ سریع‌تر افزایش می‌یابد. (مثال: $(2, 8)$) * **تابع $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ (صعودی):** نمودار کشیده‌تر است و حول محور $x$ رشد کندتری دارد. (مثال: $(8, 2)$) $$\text{رسم نمودار باید شامل } y=x^3 \text{، } y=\sqrt[3]{x} \text{، و خط } y=x \text{ به عنوان خط تقارن باشد.}$$